Matematika v starovekom Egypte
Statkár Ahmose sedel za stolom vo svojej pracovni a mračil sa. Kto by sa už len tešil, keby mu daňová správa oznámila že na tento rok bude platiť z výnosov svojich statkov a polí vyššie odvody. Aspoň raz, vzdychol si statkár, by sa mohli pri tom počítaní pomýliť .. . Darmo však statkár dumal, pisár daňového úradu nedral rohož v škole nadarmo.Ono, vedieť počítať sa predsa len oplatí...
Tak veru, starí Egypťania mali radi všetko presne spočítané a na mieste. A tak sa niet čo čudovať, že už v cca prvej polovici tretieho tisícročia pr. n. l. mali podľa všetkého k dispozícii všetky matematické poznatky ktoré potrebovali. Nájdeme ich nielen na stenách stavieb či papyrusoch (hospodárske písomnosti, úradná korešpondencia, či matematické úlohy). Zbierky úloh sú napr. doložené v papyrusoch z obdobia Strednej ríše, ktoré sú však z väčšej časti prepismi oveľa starších podkladov. Prevažná časť papyrusov je orientovaná prakticky, nechýbajú ani výpočtové tabuľky.
Ovládali sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, zlomky, lineárne rovnice, delenie na rovnaké a nerovnaké časti, výpočet plochy, dlžky strán pravouhlých troj a štvoruholníkov, kruhu, objem kvádra ihlanu, valca, kužeľa, vedeli vypočítať povrch pologule... Všeobecne sa dá konštatovať, že aj napriek širokým vedomostiam zostávali Egypťania len u praktického využitia matematiky, nikdy sa nedostali k potrebe formulovania poznatkov do obecných teoretických princípov. Poznali a v praxi využívali princípy dnes označované ako pythagorejské čísla, zlatý rez a Fibonacciho čísla. Svoj matematický systém považovali Egypťania za dokonalý a preto na ňom nemali potrebu nič meniť. Bol síce náročný na čas a trpezlivosť, ale dosahoval obdivuhodnú presnosť.
Základom staroegyptskej matematiky bol hexadecimálny systém s rôzne označenými číslicami od 1 po milión, nulu nepoznali. Používala sa desatinná sústava, ale čísla 1, 10, 100, 1000 a pod. sa písali hieroglyfickými znakmi.
Takto vyzerá číslo 35 písané hieroglyfmi. Počítacie čiarky sa písali nielen zvisle, ale aj vodorovne (to sa uplatňovalo hlavne v dátumoch). Čísla sa písali buď v smere z prava, alebo opačne. Medzi jednoduché úkony patrili sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie.
Násobenie bolo založené na sčítaní dvojnásobkov rozdelených čísel, pričom sa vždy začínalo pri 1. Tak napríklad - pisár potrebuje zistiť koľko je na lodi džbánov vína, pričom vie že loď vezie 7 balíkov a do 1 balíka vojde 8 džbánov. Takže musí vynásobiť čísla 7 a 8. Ako na to? 7 rozdelíme na čísla deliteľné dvomi: 1, 2, 4 a tie budeme násobiť 8, tzn.:
1 x 8 (8)
2 x 8 (16)
4 x 8 (32)
-------------------
výsledok: 56 sme získali súčtom násobkov čísel 1, 2 a 4, teda: 8 + 16 + 32.
Úloha č. 52 z Rhindovho papyrusu: násobiť 5 x 2000 (10000):
1 x 2000 . /
2 x 2000
4 x 2000 . /
výsledok = 10 000.
Ale hops... aj Vám to vychádza 7 x 2000 = 14 000? ... zdá sa že niečo tu teda nie je v poriadku. Aby sme dosiahli správny výsledok treba treba venovať pozornosť aj značkám pri čísliciach na obrázku - bodke a lomítku. V prvom riadku je jedna bodka a lomítko čo nám hovorí, že z dvoch znakov budeme brať do úvahy len jeden, lomítko označuje že toto je riadok na ktorý pri výpočte nesmieme zabudnúť. Pri druhom riadku nemáme žiadny znak, teda ho neberieme do úvahy (je tam preto, že Egypťania pri násobení postupovali systémom rozloženia čísla a jeho násobkov 2), v treťom riadku máme lomítko len pri hornej sade znakov, teda tá nás bude zaujímať.
Teraz už je to jasné: 1 x 2000 + 4 x 2000 (teda 2000 + 8000) = 10000.
Delenie bolo riešené uplatenením delenca pri zdvojnásobovaní alebo rozdeľovaní deliteľa. Príklad delenia: Na lodi je 1495 balov plátna, ktoré sú určené 65 rodinám, pričom každá rodina musí dostať rovnaký podiel. Koľko plátna je teda určené pre 1 rodinu? Počítame 1495 ÷ 65
1 x 65 = 65 /
2 x 65 = 130 /
4 x 65 = 260 /
8 x 65 = 520
16 x 65 = 1040 /
--------------------------------------
teda: 1 + 2 + 4 + 16 = 23. Ako sme postupovali?
Delencom je číslo 65, takže teraz treba zostaviť deliteľa. Začneme číslicou 1, ktorú násobime 2 až dovtedy kým sa čo najviac nepriblížime zadanému číslu deliteľa (1495). My sme zastavili pri 16, pretože 32 x 65 by už vysoko prekračovalo zadaného deliteľa. Teraz zostáva vybrať také prvky deliteľa, ktoré nám spolu "dajú" zadanú pôvodnú hodnotu deliteľa 1495. Takže ... všetky prvky deliteľa nemôžeme sčítať, výsledok by nesúhlasil, niektorý teda musíme vyradiť. Bude to 8. Keď sčítame ostatné "prvky" dostaneme výsledok delenia medzi 1495 a 65.
Nesmieme zabúdať ani na zlomky ako 1/n, 2/3 alebo 3/4.
Všimnite si písmenká pod vyobrazeniami zlomkov. Je to ich označenie v staroegyptštine. Znak hbs však okrem iného znamené aj "delenie".
sú písané hieratickým písmom. Ich zameranie je praktické, povedané strohou rečou matematikov - ide zvládnutie problémov týkajúcich sa "kvantitatívnych pomerov a priestorových vzťahov v objektívnej realite".
papyrus Rhind dostal svoj názov podľa Angličana Henryho Rhinda, ktorý ho kúpil v r. 1858 v egyptskom Luxore, dnes sa nachádza v expozícii British Museum. Spája sa s menom pisára Ahmoseho, ktorý žil počas 15. dynastie za vlády hyksóskeho panovníka Apopiho I. a ktorý napísal, že je to opis starobylého textu. Obsahuje spolu 87 matematických úloh - od aritmetiky, cez výpočet plochy k lineárnym rovniciam. Jeho dĺžka dosahuje úctyhodných 116 cm. Obrázok sa po kliknutí zobrazí v plnej veľkosti.
Moskovský papyrus sa v r. 1947 sa podarilo získať ruskému vedcovi V. S. Goleniševovi, dnes ho nájdeme v Moskovskom múzeu. Jeho pôvod je datovaný do 1700 pr. n. l. Dlhý je takmer 97 cm. Obrázok sa po kliknutí zobrazí v plnej veľkosti.